Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\csc^{4} (A)$ ở dạng ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Bước 2.2

Viết lại $\cot^{4} (A)$ ở dạng ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ .

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Bước 2.3

Sắp xếp lại $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ và ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

Bước 2.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \csc^{2} (A)$ và $b = \cot^{2} (A)$ .

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Bước 2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại $\csc (A)$ theo sin và cosin.

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Bước 2.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Bước 2.5.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Bước 2.5.4

Viết lại $\cot (A)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Bước 2.5.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Bước 2.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

Bước 2.7

Nhân $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Bước 3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Bước 4

Xét vế trái của phương trình.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

Bước 5

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết $\cot (A)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

Bước 5.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (A)$ .

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

Bước 6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Bước 9

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ là một đẳng thức