Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Bước 2

Nhân $\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ với $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

Bước 3

Kết hợp.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Bước 4.2

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Bước 4.3

Nhân $\sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Bước 5.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức Pytago.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại $1$ và $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Bước 6.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Bước 6.3

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Bước 6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Bước 6.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Bước 7

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Bước 7.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

Bước 7.3

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Bước 7.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Bước 7.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.3

Để viết $\frac{1}{\cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\cos (x)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.6

Triệt tiêu thừa số chung ${\cos (x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ vào tử số.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.6.2

Đưa ${\cos (x)}^{2}$ ra ngoài $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.6.4

Viết lại biểu thức.

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.9

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Bước 8.10

Nhân $- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 11

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ là một đẳng thức