Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Bước 2

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Bước 2.2

Để viết $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ với $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ với $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\csc (x) - \cot (x) + \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $\csc (x)$ và $\csc (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) - \cot (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Bước 3.2

Cộng $- \cot (x)$ và $\cot (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) + 0}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Bước 3.3

Cộng $2 \csc (x)$ và $0$ .

$\frac{2 \csc (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \csc (x)}{1}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)}}{1}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia $2 \frac{1}{\sin (x)}$ cho $1$ .

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 7.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Bước 8

Viết lại $\frac{2}{\sin (x)}$ ở dạng $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Bước 9

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ là một đẳng thức