Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos^{2} (\frac{π}{12})$

Bước 1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{12})$ là $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia $\frac{π}{12}$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức hiệu của góc $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Bước 1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Bước 1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 1.7

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 1.7.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 1.7.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 1.7.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 1.7.1.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Bước 1.7.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Bước 1.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Bước 2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Bước 2.3

Viết lại ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ ở dạng $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Bước 3

Khai triển $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.2

Nhân $6$ với $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.3

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.6

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.9

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.10

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.11

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.11.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.12

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Bước 4.1.13

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16}$

Bước 4.1.14

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16}$

Bước 4.1.15

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16}$

Bước 4.1.16

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Bước 4.2

Cộng $6$ và $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Bước 4.3

Cộng $2 \sqrt{3}$ và $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung của $8 + 4 \sqrt{3}$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Bước 5.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Bước 5.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Bước 5.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Dạng thập phân:

$0.93301270 \dots$