Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\sin (x + y) \cos (x - y)$

Bước 2

Áp dụng công thức tổng của góc.

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức cộng của góc $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Vì $\cos (- y)$ là một hàm chẵn, nên viết lại $\cos (- y)$ ở dạng $\cos (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

Bước 4.1.2

Vì $\sin (- y)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\sin (- y)$ ở dạng $- \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

Bước 4.1.3

Nhân $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Bước 4.2

Khai triển $(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nâng $\cos (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.1.2

Nâng $\cos (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) {\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.2

Nhân $\sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.3

Nhân $\cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.3.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Bước 4.3.4

Nhân $\cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Nâng $\sin (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin (y)) \sin (x)$

Bước 4.3.4.2

Nâng $\sin (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)) \sin (x)$

Bước 4.3.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) {\sin (y)}^{1 + 1} \sin (x)$

Bước 4.3.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $\sin (x) \cos (y)$ ra ngoài $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $\sin (x) \cos (y)$ ra ngoài $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.1.2

Đưa $\sin (x) \cos (y)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.1.3

Đưa $\sin (x) \cos (y)$ ra ngoài $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.2

Đưa $\cos (y)$ ra ngoài $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $\cos (y)$ ra ngoài $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.2.2

Đưa $\cos (y)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.2.3

Đưa $\cos (y)$ ra ngoài $\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.5

Nhân $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.5.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.6

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \cos (y) \cos (x)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.6.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) \sin (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 5.6.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 8

Nhân $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + 1 \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 10

Nhân $\sin (y)$ với $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x)) + \cos (y) (\sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nâng $\cos (y)$ lên lũy thừa $1$ .

${\cos (y)}^{1} \cos (y) (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 12.1.2

Nâng $\cos (y)$ lên lũy thừa $1$ .

${\cos (y)}^{1} {\cos (y)}^{1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 12.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (y)}^{1 + 1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 12.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

${\cos (y)}^{2} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 12.2

Cộng $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ và $\cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Sắp xếp lại $\cos (y)$ và $- 1$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) - 1 \cdot \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 12.2.2

Trừ $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ khỏi $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 12.3

Cộng ${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x)$ và $0$ .

$\cos^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 13

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$(1 - \sin^{2} (y)) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 14

Rút gọn mỗi số hạng.

$\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng $- {\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ và ${\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y) + 0$

Bước 15.2

Cộng $\cos (x) \sin (x)$ và $0$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$

Bước 16

Viết lại $\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$ ở dạng $\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Bước 17

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ là một đẳng thức