Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan (105)$

Bước 1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \tan (75)$

Bước 2

Chia $75$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$- \tan (30 + 45)$

Bước 3

Áp dụng công thức tổng của góc.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 4

Giá trị chính xác của $\tan (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 5

Giá trị chính xác của $\tan (45)$ là $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 6

Giá trị chính xác của $\tan (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Bước 7

Giá trị chính xác của $\tan (45)$ là $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Bước 8

Rút gọn $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

Bước 8.1.2

Kết hợp.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Bước 8.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Bước 8.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Bước 8.4

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Bước 8.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Bước 8.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Bước 8.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ vào tử số.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Bước 8.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Bước 8.5.3.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Bước 8.6

Nhân $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ với $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Bước 8.7

Nhân $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ với $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Bước 8.8

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.9

Rút gọn.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Bước 8.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.10.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Bước 8.10.2

Nâng $3 + \sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Bước 8.10.3

Nâng $3 + \sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Bước 8.10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Bước 8.10.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Bước 8.11

Viết lại ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ ở dạng $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Bước 8.12

Khai triển $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Bước 8.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Bước 8.12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.13

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.13.1.1

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.13.1.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.13.1.3

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Bước 8.13.1.4

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Bước 8.13.1.5

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Bước 8.13.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Bước 8.13.2

Cộng $9$ và $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.13.3

Cộng $3 \sqrt{3}$ và $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.14

Triệt tiêu thừa số chung của $12 + 6 \sqrt{3}$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.14.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.14.2

Đưa $6$ ra ngoài $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Bước 8.14.3

Đưa $6$ ra ngoài $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Bước 8.14.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.14.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Bước 8.14.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Bước 8.14.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Bước 8.14.4.4

Chia $2 + \sqrt{3}$ cho $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Bước 8.15

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Bước 8.16

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 2 - \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$- 3.73205080 \dots$