Giải tích sơ cấp Ví dụ

f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24

$f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho

4 x^{2} + 20 x - 24

$4 x^{2} + 20 x - 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của

a

$a$ ,

b

$b$ , và

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 20

$b = 20$

c = - 24

$c = - 24$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm

d

$d$ bằng cách sử dụng công thức

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của

a

$a$ và

b

$b$ vào công thức

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{20}{2 \cdot 4}

$d = \frac{20}{2 \cdot 4}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của

20

$20$ và

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

20

$20$ .

d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.2.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{10}{4}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của

$10$ và

$4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$10$ .

$d = \frac{2 (5)}{4}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.2.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$4$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{2}$

Bước 1.1.1.4

Tìm

$e$ bằng cách sử dụng công thức

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của

$c$ ,

$b$ và

$a$ vào công thức

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 24 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng

$20$ lên lũy thừa

$2$ .

$e = - 24 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân

$4$ với

$4$ .

$e = - 24 - \frac{400}{16}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Chia

$400$ cho

$16$ .

$e = - 24 - 1 \cdot 25$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân

$- 1$ với

$25$ .

$e = - 24 - 25$

Bước 1.1.1.4.2.2

Trừ

$25$ khỏi

$- 24$ .

$e = - 49$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của

$a$ ,

$d$ và

$e$ vào dạng đỉnh

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$ .

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Bước 1.1.2

Đặt

$y$ bằng với vế phải mới.

$y = 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của

$a$ ,

$h$ và

$k$ .

$a = 4$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - 49$

Bước 1.3

Vì giá trị của

$a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh

$(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Bước 1.5

Tìm

$p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của

$a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Bước 1.5.3

Nhân

$4$ với

$4$ .

$\frac{1}{16}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng

$p$ vào tọa độ y

$k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của

$h$ ,

$p$ , và

$k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - \frac{5}{2}$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ

$p$ từ tọa độ y

$k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của

$p$ và

$k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{785}{16}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Tiêu điểm:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Trục đối xứng:

$x = - \frac{5}{2}$

Đường chuẩn:

$y = - \frac{785}{16}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Tiêu điểm:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Trục đối xứng:

$x = - \frac{5}{2}$

Đường chuẩn:

$y = - \frac{785}{16}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị

$x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị

$y$ tương ứng. Các giá trị

$x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến

$x$ bằng

$- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = 4 {(- 3)}^{2} + 20 (- 3) - 24$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng

$- 3$ lên lũy thừa

$2$ .

$f (- 3) = 4 \cdot 9 + 20 (- 3) - 24$

Bước 2.2.1.2

Nhân

$4$ với

$9$ .

$f (- 3) = 36 + 20 (- 3) - 24$

Bước 2.2.1.3

Nhân

$20$ với

$- 3$ .

$f (- 3) = 36 - 60 - 24$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ

$60$ khỏi

$36$ .

$f (- 3) = - 24 - 24$

Bước 2.2.2.2

Trừ

$24$ khỏi

$- 24$ .

$f (- 3) = - 48$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là

$- 48$ .

$- 48$

Bước 2.3

Giá trị

$y$ tại

$x = - 3$ là

$- 48$ .

$y = - 48$

Bước 2.4

Thay thế biến

$x$ bằng

$- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = 4 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) - 24$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng

$- 4$ lên lũy thừa

$2$ .

$f (- 4) = 4 \cdot 16 + 20 (- 4) - 24$

Bước 2.5.1.2

Nhân

$4$ với

$16$ .

$f (- 4) = 64 + 20 (- 4) - 24$

Bước 2.5.1.3

Nhân

$20$ với

$- 4$ .

$f (- 4) = 64 - 80 - 24$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ

$80$ khỏi

$64$ .

$f (- 4) = - 16 - 24$

Bước 2.5.2.2

Trừ

$24$ khỏi

$- 16$ .

$f (- 4) = - 40$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là

$- 40$ .

$- 40$

Bước 2.6

Giá trị

$y$ tại

$x = - 4$ là

$- 40$ .

$y = - 40$

Bước 2.7

Thay thế biến

$x$ bằng

$- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) - 24$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng

$- 1$ lên lũy thừa

$2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 20 (- 1) - 24$

Bước 2.8.1.2

Nhân

$4$ với

$1$ .

$f (- 1) = 4 + 20 (- 1) - 24$

Bước 2.8.1.3

Nhân

$20$ với

$- 1$ .

$f (- 1) = 4 - 20 - 24$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Trừ

$20$ khỏi

$4$ .

$f (- 1) = - 16 - 24$

Bước 2.8.2.2

Trừ

$24$ khỏi

$- 16$ .

$f (- 1) = - 40$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là

$- 40$ .

$- 40$

Bước 2.9

Giá trị

$y$ tại

$x = - 1$ là

$- 40$ .

$y = - 40$

Bước 2.10

Thay thế biến

$x$ bằng

$0$ trong biểu thức.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} + 20 (0) - 24$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 + 20 (0) - 24$

Bước 2.11.1.2

Nhân

$4$ với

$0$ .

$f (0) = 0 + 20 (0) - 24$

Bước 2.11.1.3

Nhân

$20$ với

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Cộng

$0$ và

$0$ .

$f (0) = 0 - 24$

Bước 2.11.2.2

Trừ

$24$ khỏi

$0$ .

$f (0) = - 24$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là

$- 24$ .

$- 24$

Bước 2.12

Giá trị

$y$ tại

$x = 0$ là

$- 24$ .

$y = - 24$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Tiêu điểm:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Trục đối xứng:

$x = - \frac{5}{2}$

Đường chuẩn:

$y = - \frac{785}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Bước 4