Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (\frac{x}{2}) + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.2

Viết lại $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.3

Nhân $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.4.6.5

Tính số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Bước 1.6

Đưa $3$ ra ngoài $\frac{3 x}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \cos (3 \frac{x}{2})$

Bước 1.7

Sử dụng đẳng thức góc nhân ba để chuyển đổi $\cos (3 x)$ thành $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 \cos^{3} (\frac{x}{2}) - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.2

Viết lại $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.3

Nhân $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.4.6.5

Tính số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Bước 1.8.6

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})$

Bước 1.8.7

Viết lại $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})$

Bước 1.8.8

Nhân $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 1.8.9

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.9.1

Nhân $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Bước 1.8.9.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Bước 1.8.9.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Bước 1.8.9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Bước 1.8.9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Bước 1.8.9.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.9.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 1.8.9.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 1.8.9.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Bước 1.8.9.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.9.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Bước 1.8.9.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})$

Bước 1.8.9.6.5

Tính số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})$

Bước 1.8.10

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Bước 2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $3 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ khỏi $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ .

$4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Bước 2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$4 {(\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})$