Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(\sqrt{3} - i)}^{5}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{5}$ ở dạng $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.3

Viết lại $243$ ở dạng $9^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đưa $81$ ra ngoài $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.3.2

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5

Viết lại ${\sqrt{3}}^{4}$ ở dạng $3^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.5.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.7

Nhân $5$ với $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.8

Nhân $- 1$ với $45$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.9

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{27} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.11

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.11.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.11.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.12

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.13

Nhân $3$ với $10$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.14

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.15

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} (1 i^{2}) + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.16

Nhân $i^{2}$ với $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.17

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.18

Nhân $- 1$ với $30$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.19

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.19.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.19.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.19.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.19.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.19.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.19.4.2

Viết lại biểu thức.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.19.5

Tính số mũ.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.20

Nhân $10$ với $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.21

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.22

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i^{3}) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.23

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.24

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.25

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- - i) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.26

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (1 i) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.27

Nhân $i$ với $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.28

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.29

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.30

Nhân $i^{4}$ với $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.31

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.31.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.31.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.31.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.32

Nhân $5$ với $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- i)}^{5}$

Bước 2.1.33

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Bước 2.1.34

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i^{5}$

Bước 2.1.35

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - (i^{4} i)$

Bước 2.1.36

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.36.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - ({(i^{2})}^{2} i)$

Bước 2.1.36.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - ({(- 1)}^{2} i)$

Bước 2.1.36.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - (1 i)$

Bước 2.1.37

Nhân $i$ với $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $30 \sqrt{3}$ khỏi $9 \sqrt{3}$ .

$- 45 i - 21 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i$

Bước 2.2.2

Cộng $- 45 i$ và $30 i$ .

$- 15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} - i$

Bước 2.2.3

Trừ $i$ khỏi $- 15 i$ .

$- 16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Bước 2.2.4

Cộng $- 21 \sqrt{3}$ và $5 \sqrt{3}$ .

$- 16 i - 16 \sqrt{3}$

Bước 2.2.5

Sắp xếp lại $- 16 i$ và $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} - 16 i$