Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{2}{x^{3} - 1}$

Bước 1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3} - 1^{3}}$

Bước 1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Bước 1.1.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Bước 1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Bước 1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo ra một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số, và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số có bậc 2, ta cần $2$ số hạng trên tử số. Số số hạng cần thiết trên tử số luôn bằng với số bậc của thừa số dưới mẫu.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.6.2

Chia $2$ cho $1$ .

$2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.7.1.2

Chia $(A) (x^{2} + x + 1)$ cho $1$ .

$2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.7.3

Nhân $A$ với $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Bước 1.7.4.2

Chia $(B x + C) (x - 1)$ cho $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Bước 1.7.5

Khai triển $(B x + C) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Bước 1.7.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Bước 1.7.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Bước 1.7.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.6.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.6.1.1

Di chuyển $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Bước 1.7.6.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Bước 1.7.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $B x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Bước 1.7.6.3

Viết lại $- 1 (B x)$ ở dạng $- (B x)$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Bước 1.7.6.4

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Bước 1.7.6.5

Viết lại $- 1 C$ ở dạng $- C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Bước 1.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Sắp xếp lại $B$ và $x^{2}$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Bước 1.8.2

Di chuyển $B$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Bước 1.8.3

Di chuyển $A$ .

$2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Bước 1.8.4

Di chuyển $A x$ .

$2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Bước 2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x^{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + B$

Bước 2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A - 1 B + C$

Bước 2.3

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$2 = A - 1 C$

Bước 2.4

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Bước 3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giải tìm $A$ trong $0 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Bước 3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Bước 3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $0 = A - 1 B + C$ bằng $- B$ .

$0 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $(- B) - 1 B + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Viết lại $- 1 B$ ở dạng $- B$ .

$0 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Bước 3.2.2.1.2

Trừ $B$ khỏi $- B$ .

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $2 = A - 1 C$ bằng $- B$ .

$2 = (- B) - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Bước 3.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Viết lại $- 1 C$ ở dạng $- C$ .

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Bước 3.3

Giải tìm $C$ trong $0 = - 2 B + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 B + C = 0$ .

$- 2 B + C = 0$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Bước 3.3.2

Cộng $2 B$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Bước 3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ bằng $2 B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $C$ trong $2 = - B - C$ bằng $2 B$ .

$2 = - B - (2 B)$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn $- B - (2 B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 = - B - 2 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.4.2.1.2

Trừ $2 B$ khỏi $- B$ .

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.5

Giải tìm $B$ trong $2 = - 3 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 3 B = 2$ .

$- 3 B = 2$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- 3 B = 2$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 B = 2$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.5.2.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Bước 3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $- \frac{2}{3}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $C = 2 B$ bằng $- \frac{2}{3}$ .

$C = 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Rút gọn $2 (- \frac{2}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Nhân $2 (- \frac{2}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$C = - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Bước 3.6.2.1.1.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{3}$ .

$C = \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Bước 3.6.2.1.1.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Bước 3.6.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Bước 3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - B$ bằng $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Bước 3.6.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Nhân $- (- \frac{2}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Bước 3.6.4.1.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Bước 3.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{4}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Bước 4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ , $B$ và $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$