Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} > \frac{8}{15}$

Bước 1

Trừ $\frac{8}{15}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{1}{2 b + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.2

Để viết $\frac{1}{b + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(2 b + 1) (b + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{1}{2 b + 1}$ với $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{1}{b + 1}$ với $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(b + 1) (2 b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(b + 1) (2 b + 1)$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{b + 1 + 2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.5

Cộng $b$ và $2 b$ .

$\frac{3 b + 1 + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.7

Để viết $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} > 0$

Bước 2.8

Để viết $- \frac{8}{15}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.9

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.9.2

Nhân $\frac{8}{15}$ với $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Bước 2.9.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Bước 2.9.4

Sắp xếp lại các thừa số của $15 ((2 b + 1) (b + 1))$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15 - 8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 b \cdot 15 + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.2

Nhân $15$ với $3$ .

$\frac{45 b + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.3

Nhân $2$ với $15$ .

$\frac{45 b + 30 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{45 b + 30 + (- 8 (2 b) - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.5

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.6

Nhân $- 8$ với $1$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.7

Khai triển $(- 16 b - 8) (b + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{45 b + 30 - 16 b (b + 1) - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.8.1.1

Nhân $b$ với $b$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.8.1.1.1

Di chuyển $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 (b \cdot b) - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.8.1.1.2

Nhân $b$ với $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.8.1.2

Nhân $- 16$ với $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.8.1.3

Nhân $- 8$ với $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.8.2

Trừ $8 b$ khỏi $- 16 b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 24 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.9

Trừ $24 b$ khỏi $45 b$ .

$\frac{21 b + 30 - 16 b^{2} - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.10

Trừ $8$ khỏi $30$ .

$\frac{21 b - 16 b^{2} + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.12

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.12.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 16 \cdot 22 = - 352$ và có tổng là $b = 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.12.1.1

Đưa $21$ ra ngoài $21 b$ .

$\frac{- 16 b^{2} + 21 (b) + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.12.1.2

Viết lại $21$ ở dạng $- 11$ cộng $32$

$\frac{- 16 b^{2} + (- 11 + 32) b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.12.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 16 b^{2} - 11 b + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.12.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.12.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- 16 b^{2} - 11 b) + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.12.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{b (- 16 b - 11) - 2 (- 16 b - 11)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.11.12.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 16 b - 11$ .

$\frac{(- 16 b - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 16 b$ .

$\frac{(- (16 b) - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.13

Viết lại $- 11$ ở dạng $- 1 (11)$ .

$\frac{(- (16 b) - 1 (11)) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.14

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (16 b) - 1 (11)$ .

$\frac{- (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.15

Viết lại $- (16 b + 11)$ ở dạng $- 1 (16 b + 11)$ .

$\frac{- 1 (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 2.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$16 b + 11 = 0$

$b - 2 = 0$

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Bước 4

Trừ $11$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$16 b = - 11$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $16 b = - 11$ cho $16$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $16 b = - 11$ cho $16$ .

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Bước 5.2.1.2

Chia $b$ cho $1$ .

$b = \frac{- 11}{16}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$b = - \frac{11}{16}$

Bước 6

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$b = 2$

Bước 7

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 b = - 1$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $2 b = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $2 b = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 8.2.1.2

Chia $b$ cho $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$b = - \frac{1}{2}$

Bước 9

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b = - 1$

Bước 10

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$b = - \frac{11}{16}$

$b = 2$

$b = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

Bước 11

Hợp nhất các đáp án.

$b = - \frac{11}{16}, 2, - \frac{1}{2}, - 1$

Bước 12

Tìm tập xác định của $- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$

Bước 12.2

Giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Bước 12.2.2

Đặt $2 b + 1$ bằng $0$ và giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Đặt $2 b + 1$ bằng với $0$ .

$2 b + 1 = 0$

Bước 12.2.2.2

Giải $2 b + 1 = 0$ để tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 b = - 1$

Bước 12.2.2.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 b = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 b = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 12.2.2.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 12.2.2.2.2.2.1.2

Chia $b$ cho $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Bước 12.2.2.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$b = - \frac{1}{2}$

Bước 12.2.3

Đặt $b + 1$ bằng $0$ và giải tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Đặt $b + 1$ bằng với $0$ .

$b + 1 = 0$

Bước 12.2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b = - 1$

Bước 12.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$ đúng.

$b = - \frac{1}{2}, - 1$

Bước 12.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $b$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Bước 13

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$b < - 1$

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < b < 2$

$b > 2$

Bước 14

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $b < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $b < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$b = - 4$

Bước 14.1.2

Thay thế $b$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2 (- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) + 1} > \frac{8}{15}$

Bước 14.1.3

Vế trái $- 0.\overline{476190}$ không lớn hơn vế phải $0.5\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$b = - 0.84$

Bước 14.2.2

Thay thế $b$ bằng $- 0.84$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2 (- 0.84) + 1} + \frac{1}{(- 0.84) + 1} > \frac{8}{15}$

Bước 14.2.3

Vế trái $4.77941176$ lớn hơn vế phải $0.5\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 14.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$b = - 0.59$

Bước 14.3.2

Thay thế $b$ bằng $- 0.59$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2 (- 0.59) + 1} + \frac{1}{(- 0.59) + 1} > \frac{8}{15}$

Bước 14.3.3

Vế trái $- 3.\overline{11653}$ không lớn hơn vế phải $0.5\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{1}{2} < b < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{1}{2} < b < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$b = 0$

Bước 14.4.2

Thay thế $b$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2 (0) + 1} + \frac{1}{(0) + 1} > \frac{8}{15}$

Bước 14.4.3

Vế trái $2$ lớn hơn vế phải $0.5\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 14.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $b > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $b > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$b = 4$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2 (4) + 1} + \frac{1}{(4) + 1} > \frac{8}{15}$

Bước 14.5.3

Vế trái $0.3\overline{1}$ không lớn hơn vế phải $0.5\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$b < - 1$ Sai

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Đúng

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Sai

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Đúng

$b > 2$ Sai

$b < - 1$ Sai

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Đúng

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Sai

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Đúng

$b > 2$ Sai

Bước 15

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ hoặc $- \frac{1}{2} < b < 2$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$- 1 < b < - \frac{11}{16} or - \frac{1}{2} < b < 2$

Ký hiệu khoảng:

$(- 1, - \frac{11}{16}) \cup (- \frac{1}{2}, 2)$

Bước 17