Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

Bước 1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

Bước 2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

Bước 2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- 3 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

Bước 2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ .

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Bước 4

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 4.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 5

Đặt $x^{2} - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x^{2} - 3$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Bước 5.2

Giải $x^{2} - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 3$

Bước 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Bước 5.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{3}$

Bước 5.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{3}$

Bước 5.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ đúng.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Bước 8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - \sqrt{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - \sqrt{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

Bước 8.1.3

Vế trái $0.2381033$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

Bước 8.2.3

Vế trái $- 3$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \sqrt{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \sqrt{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 8.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

Bước 8.3.3

Vế trái $709.77595043$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \sqrt{3}$ Sai

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Đúng

$x > \sqrt{3}$ Sai

$x < - \sqrt{3}$ Sai

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Đúng

$x > \sqrt{3}$ Sai

Bước 9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Bước 11