Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$

Bước 1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (\frac{x}{2})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \frac{x}{2})$ . Do đó, $\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$ là $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Bước 2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Bước 3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp.

$\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Bước 3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Bước 4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

Bước 4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

Bước 4.5

Viết lại $\frac{4 + x^{2}}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $4 + x^{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

Bước 4.5.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

Bước 4.5.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

Bước 4.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}$

Bước 4.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Bước 5

Kết hợp $2$ và $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Bước 6.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{1}}$

Bước 6.2

Chia $\sqrt{4 + x^{2}}$ cho $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Bước 7

Nhân $\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Bước 8

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Bước 8.2

Nâng $\sqrt{4 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Bước 8.3

Nâng $\sqrt{4 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

Bước 8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Bước 8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

Bước 8.6

Viết lại ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ ở dạng $4 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 + x^{2}}$ ở dạng ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

Bước 8.6.5

Rút gọn.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$