Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (\frac{11 π}{12}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{11 π}{12})$ là $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\sin (\frac{π}{12}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.2

Chia $\frac{π}{12}$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.3

Áp dụng công thức hiệu của góc.

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.8

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.8.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.8.1.2

Nhân $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12})$

Bước 1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{7 π}{12})$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $\frac{7 π}{12}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Bước 1.2.2

Áp dụng công thức góc chia đôi cho sin.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Bước 1.2.3

Thay đổi $\pm$ thành $+$ vì sin dương trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Bước 1.2.4

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Bước 1.2.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Bước 1.2.4.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Bước 1.2.4.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Bước 1.2.4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Bước 1.2.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Bước 1.2.4.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 1.2.4.7

Nhân $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.7.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Bước 1.2.4.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Bước 1.2.4.8

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Bước 1.2.4.9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.9.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 1.2.4.9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Bước 2

Để viết $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2}{4}$

Bước 5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Dạng thập phân:

$- 0.70710678 \dots$