Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (105) + \cos (15)$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giá trị chính xác của $\cos (105)$ là $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \cos (75) + \cos (15)$

Bước 1.1.2

Chia $75$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$- \cos (30 + 45) + \cos (15)$

Bước 1.1.3

Áp dụng đẳng thức cộng của góc $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Bước 1.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Bước 1.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Bước 1.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) + \cos (15)$

Bước 1.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Bước 1.1.8

Rút gọn $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Bước 1.1.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Bước 1.1.8.1.1.3

Nhân $3$ với $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Bước 1.1.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Bước 1.1.8.1.2

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (15)$

Bước 1.1.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (15)$

Bước 1.1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (15)$

Bước 1.2

Giá trị chính xác của $\cos (15)$ là $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Chia $15$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - 30)$

Bước 1.2.2

Tách dấu âm.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - (30))$

Bước 1.2.3

Áp dụng đẳng thức hiệu của góc $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

Bước 1.2.4

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

Bước 1.2.5

Giá trị chính xác của $\cos (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)$

Bước 1.2.6

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

Bước 1.2.7

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.2.8

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.2.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.2.8.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.2.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.2.8.1.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.2.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Bước 1.2.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Bước 2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Bước 3.2

Nhân $- - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Bước 3.2.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $- \sqrt{6}$ và $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Bước 4.2

Cộng $0$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Bước 4.3

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.70710678 \dots$