Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Bước 1

Để viết $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Bước 2

Để viết $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Bước 3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ với $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ với $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(\cos (t) + 1) \sin (t)$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (t) \cdot 1$ và $- 1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.2.2

Trừ $1 \cos (t)$ khỏi $1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.2.3

Cộng $\cos (t) \cos (t)$ và $0$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $\cos (t) \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.3.1.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.3.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.3.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại $\cos^{2} (t)$ và $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.5

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.8

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.9

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.10

Nhân $\sin (t) \sin (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Nâng $\sin (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.10.2

Nâng $\sin (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.10.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 5.11

Cộng $- \sin^{2} (t)$ và $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Bước 6

Tách các phân số.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

Bước 8

Chia $0$ cho $\cos (t) + 1$ .

$0 \csc (t)$

Bước 9

Nhân $0$ với $\csc (t)$ .

$0$