Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

Bước 1

Để viết $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

Bước 2

Để viết $\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

Bước 3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ với $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ .

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ với $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ .

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ .

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \cos (y)) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (x) \cos (y)$ và $- \cos (y) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.2.2

Trừ $\cos (x) \cos (y)$ khỏi $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 0 - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.2.3

Cộng $\cos (x) \cos (x)$ và $0$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3.2

Nhân $- \cos (y) \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nâng $\cos (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3.2.2

Nâng $\cos (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos^{2} (x) - {\cos (y)}^{1 + 1} + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.3.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.4

Khai triển $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) (\sin (x) + \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\sin (x) \sin (y)$ và $- \sin (y) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.5.2

Trừ $\sin (x) \sin (y)$ khỏi $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + 0 - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.5.3

Cộng $\sin (x) \sin (x)$ và $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6.2

Nhân $- \sin (y) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Nâng $\sin (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6.2.2

Nâng $\sin (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - {\sin (y)}^{1 + 1}}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.6.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7

Viết lại $\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$\frac{- \cos^{2} (y) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1 - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.4

Viết lại $1 - \sin^{2} (y)$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1^{2} - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sin (y)$ .

$\frac{- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (y)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y)) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.5.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $(1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) + (- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.6

Khai triển $(- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.7.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.2

Nhân $- 1 (- \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.7.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 1 \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.2.2

Nhân $\sin (y)$ với $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.4

Nhân $- \sin (y) (- \sin (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.7.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + 1 \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.4.2

Nhân $\sin (y)$ với $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.4.3

Nâng $\sin (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.4.4

Nâng $\sin (y)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + {\sin (y)}^{1 + 1})}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.2

Trừ $\sin (y)$ khỏi $\sin (y)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 0 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.7.3

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.8

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin^{2} (y)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.11

Viết lại $- 1 (1 - \sin^{2} (y))$ ở dạng $- (1 - \sin^{2} (y))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.12

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - \cos^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 5.7.13

Trừ $\cos^{2} (y)$ khỏi $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{- 0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 6

Nhân với 0.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Bước 6.2

Chia $0$ cho $(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ .

$0$