Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a - b - 2 b \frac{a - b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = a$ và $b = b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b - 2 b \frac{a - b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $- 2 b \frac{a - b}{a + b}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{a - b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + b \frac{- 2 (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.1.2

Kết hợp $b$ và $\frac{- 2 (a - b)}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{b (- 2 (a - b))}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{b \cdot - 2 (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b + \frac{- 2 \cdot b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b - \frac{2 \cdot b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.5

Để viết $a$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b + \frac{a (a + b)}{a + b} - \frac{2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.7

Để viết $- b$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{- b \cdot \frac{a + b}{a + b} + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.8

Kết hợp $- b$ và $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b (a + b)}{a + b} + \frac{a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b (a + b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10

Viết lại $\frac{- b (a + b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b \cdot b + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.2

Nhân $b$ với $b$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Di chuyển $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - (b \cdot b) + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.2.2

Nhân $b$ với $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a (a + b) - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a \cdot a + a b - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.4

Nhân $a$ với $a$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b (a - b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 b (- b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 b \cdot b}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.7.1

Nhân $b$ với $b$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.7.1.1

Di chuyển $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 (b \cdot b)}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.7.1.2

Nhân $b$ với $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a - 2 \cdot - 1 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.7.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b a - b^{2} + a^{2} + a b - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.8

Cộng $- b a$ và $a b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.8.1

Di chuyển $b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b^{2} + a^{2} - a b + a b - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.8.2

Cộng $- a b$ và $a b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{- b^{2} + a^{2} + 0 - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.9

Cộng $- b^{2}$ và $0$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - b^{2} - 2 b a + 2 b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.10

Cộng $- b^{2}$ và $2 b^{2}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - 2 b a}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.11

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - 2 b a + b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.11.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 b a = 2 \cdot a \cdot b$

Bước 2.10.11.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 2.10.11.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = a$ và $b = b$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{\frac{a - b}{b} \cdot \frac{a}{a + b}}$

Bước 3

Nhân $\frac{a - b}{b}$ với $\frac{a}{a + b}$ .

$\frac{a}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{\frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp.

$\frac{a \frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 4.2

Kết hợp $a$ và $\frac{{(a - b)}^{2}}{a + b}$ .

$\frac{\frac{a {(a - b)}^{2}}{a + b}}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{a {(a - b)}^{2}}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $a - b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $a - b$ ra ngoài $a {(a - b)}^{2}$ .

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 6.2

Đưa $a - b$ ra ngoài $(a + b) (a - b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}$ .

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a - b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(a - b) (a (a - b))}{a + b} \cdot \frac{1}{(a - b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

Bước 6.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{a (a - b)}{a + b} \cdot \frac{1}{(a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 7

Nhân $\frac{a (a - b)}{a + b}$ với $\frac{1}{(a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$ .

$\frac{a (a - b)}{(a + b) ((a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)})}$

Bước 8

Nâng $a + b$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1} (a + b) \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 9

Nâng $a + b$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{1 + 1} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{a (a - b)}{{(a + b)}^{2} \frac{(a - b) a}{b (a + b)}}$

Bước 12

Kết hợp ${(a + b)}^{2}$ và $\frac{(a - b) a}{b (a + b)}$ .

$\frac{a (a - b)}{\frac{{(a + b)}^{2} ((a - b) a)}{b (a + b)}}$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung của ${(a + b)}^{2}$ và $a + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $a + b$ ra ngoài ${(a + b)}^{2} ((a - b) a)$ .

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{b (a + b)}}$

Bước 13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đưa $a + b$ ra ngoài $b (a + b)$ .

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{(a + b) b}}$

Bước 13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a + b) ((a - b) a))}{(a + b) b}}$

Bước 13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{a (a - b)}{\frac{(a + b) ((a - b) a)}{b}}$

Bước 14

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$a (a - b) \frac{b}{(a + b) (a - b) a}$

Bước 15

Triệt tiêu thừa số chung $(a - b) a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $(a - b) a$ ra ngoài $a (a - b)$ .

$(a - b) a (1) \frac{b}{(a + b) (a - b) a}$

Bước 15.2

Đưa $(a - b) a$ ra ngoài $(a + b) (a - b) a$ .

$(a - b) a (1) \frac{b}{(a - b) a (a + b)}$

Bước 15.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$(a - b) a \cdot 1 \frac{b}{(a - b) a (a + b)}$

Bước 15.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{b}{a + b}$