Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{1 + i} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{1}{1 + 1 i}$ với liên hợp của $1 + 1 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.2

Nhân $1 - i$ với $1$ .

$\frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Khai triển $(1 + 1 i) (1 - i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.9

Cộng $- 1 i$ và $1 i$ .

$\frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.2.10

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1 - i}{1 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 - - 1} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 - i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.3

Tách phân số $\frac{1 - i}{2}$ thành hai phân số.

$\frac{1}{2} + \frac{- i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Bước 1.5

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{1}{1 - i}$ với liên hợp của $1 - i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Bước 1.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kết hợp.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Bước 1.6.2

Nhân $1 + i$ với $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Bước 1.6.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Khai triển $(1 - i) (1 + i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Bước 1.6.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Bước 1.6.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Bước 1.6.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Bước 1.6.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i i}$

Bước 1.6.3.2.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Bước 1.6.3.2.4

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Bước 1.6.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Bước 1.6.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Bước 1.6.3.2.7

Trừ $i$ khỏi $1 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}}$

Bước 1.6.3.2.8

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - i^{2}}$

Bước 1.6.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - - 1}$

Bước 1.6.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1}$

Bước 1.6.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{2}$

Bước 1.7

Tách phân số $\frac{1 + i}{2}$ thành hai phân số.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Bước 1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - i - 1 - i}{2}$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 - i - i}{2}$

Bước 2.2.2

Trừ $i$ khỏi $0$ .

$\frac{- i - i}{2}$

Bước 2.3

Trừ $i$ khỏi $- i$ .

$\frac{- 2 i}{2}$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 i$ .

$\frac{2 (- i)}{2}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- i)}{2 (1)}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- i)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- i}{1}$

Bước 2.4.2.4

Chia $- i$ cho $1$ .

$- i$