Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1 + \sin (- x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\sin (- x)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\sin (- x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

Bước 1.2

Vì $\cos (- x)$ là một hàm chẵn, nên viết lại $\cos (- x)$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

Bước 1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\sin (- x)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\sin (- x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - - \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

Bước 1.3.2

Nhân $- - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + 1 \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

Bước 1.3.2.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

Bước 1.4

Vì $\cos (- x)$ là một hàm chẵn, nên viết lại $\cos (- x)$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 2

Để viết $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 3

Để viết $- \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ với $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Khai triển $(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.2.2

Nhân $- \cos (x)$ với $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.2.4

Nhân $- \sin (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.2.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.5

Khai triển $(- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 (1 + \cos (x)) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.6.2

Viết lại $- 1 \cos (x)$ ở dạng $- \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.7

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.8

Trừ $\cos (x)$ khỏi $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.9

Trừ $\cos (x)$ khỏi $- \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.10

Trừ $\sin (x)$ khỏi $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.11

Trừ $\sin (x) \cos (x)$ khỏi $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{0 - 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.12

Trừ $2 \cos (x)$ khỏi $0$ .

$\frac{- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.13

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.13.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.13.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.13.3

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))$ .

$\frac{- 2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$