Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$

Bước 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 y^{2} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$ với $\frac{3 y^{2} x^{2}}{3 y^{2} x^{2}}$ .

$\frac{3 y^{2} x^{2}}{3 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$

Bước 1.2

Kết hợp.

$\frac{3 y^{2} x^{2} (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 y^{2} x^{2} \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y (3 y x^{2}) \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (3 y x^{2}) \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y x^{2} x + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 y (x^{1} x^{2}) + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 y x^{1 + 2} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y}{x}$ vào tử số.

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{3 y x^{3} + x (3 y^{2} x) \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y x^{3} + x (3 y^{2} x) \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x (- y)}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.6

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 y^{2} x y}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.7

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x (y^{2} y^{1})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{2 + 1}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.9

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.10

Triệt tiêu thừa số chung $3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Đưa $3 x^{2}$ ra ngoài $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 x^{2} (y^{2}) \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 x^{2} y^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

Bước 3.11

Triệt tiêu thừa số chung $3 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3 y^{2}}$ vào tử số.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

Bước 3.11.2

Đưa $3 y^{2}$ ra ngoài $3 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} (x^{2}) \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

Bước 3.11.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

Bước 3.11.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $3 y x$ ra ngoài $3 y x^{3} - 3 x y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $3 y x$ ra ngoài $3 y x^{3}$ .

$\frac{3 y x (x^{2}) - 3 x y^{3}}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 4.1.2

Đưa $3 y x$ ra ngoài $- 3 x y^{3}$ .

$\frac{3 y x (x^{2}) + 3 y x (- y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 4.1.3

Đưa $3 y x$ ra ngoài $3 y x (x^{2}) + 3 y x (- y^{2})$ .

$\frac{3 y x (x^{2} - y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = y$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}$

Bước 5.2

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - x^{2}}$

Bước 5.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = x$ .

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(y + x) (y - x)}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x + y$ và $y + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Bước 6.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y x (x - y)}{y - x}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x - y$ và $y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$\frac{3 y x (- 1 (- x) - y)}{y - x}$

Bước 6.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{3 y x (- 1 (- x) - (y))}{y - x}$

Bước 6.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{y - x}$

Bước 6.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Bước 6.2.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Bước 6.2.6

Chia $3 y x \cdot (- 1)$ cho $1$ .

$3 y x \cdot (- 1)$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 y x$