Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.3

Di chuyển $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $\cos^{2} (x)$ và $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.5

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.8

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.9

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.10

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.10.2

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.10.3

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.11

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.12

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.13

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.14

Sắp xếp lại $- 1^{2}$ và ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.15

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{1}{\cos (x)}$ và $b = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 2.2

Chia $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ cho $1$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Bước 3

Khai triển $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.1.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.2

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.4

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Bước 4.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1$

Bước 4.2

Cộng $- \frac{1}{\cos (x)}$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 0 - 1$

Bước 4.3

Cộng $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Bước 5.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Bước 5.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\tan^{2} (x)$