Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 1

Để viết $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 2

Để viết $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.2

Khai triển $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.2

Nhân $- \cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.4

Nhân $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.4.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.4.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.3.2

Trừ $\cos (x)$ khỏi $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.4

Viết lại $\sin^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.4.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1 + 1 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.4.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 - 2 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.4.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 5.4.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $1 - \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Bước 7

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 8

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{2}{1} \csc (x)$

Bước 9

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \csc (x)$