Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\csc^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Bước 1

Thay thế $\csc^{2} (x)$ bằng $\cot^{2} (x) + 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) - 2 \cot (x) = 0$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$\cot^{2} (x) - 2 \cot (x) + 1 = 0$

Bước 3

Thay $u$ bằng $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Bước 4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Bước 4.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 4.3

Viết lại đa thức này.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Bước 4.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Bước 5

Đặt $u - 1$ bằng $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 6

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 7

Thay $\cot (x)$ bằng $u$ .

$\cot (x) = 1$

Bước 8

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (1)$

Bước 9

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị chính xác của $arccot (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 10

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 11

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 11.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 11.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 11.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 12

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 12.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 12.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 12.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 13

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$