Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Bước 1

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

Bước 2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 6

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 7

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 8

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 9

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Bước 9.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 2.23703575$

Bước 9.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

Bước 9.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

Bước 9.4.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 2.23703575$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.23703575$

Bước 9.4.2.2

Trừ $2.23703575$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 4.04614954$

Bước 9.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 9.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 9.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 9.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 9.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$