Giải tích sơ cấp Ví dụ

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Bước 1

Viết lại $e^{4 x}$ dưới dạng số mũ.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Bước 2

Viết lại $e^{2 x}$ dưới dạng số mũ.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Bước 3

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Bước 4

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Bước 4.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $u^{4}$ ở dạng ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Bước 4.2.2

Giả sử $u = u^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $u^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Bước 4.2.3

Phân tích $u^{2} - 6 u - 16$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 16$ và tổng của chúng là $- 6$ .

$- 8, 2$

Bước 4.2.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Bước 4.2.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Bước 4.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Bước 4.4

Đặt $u^{2} - 8$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đặt $u^{2} - 8$ bằng với $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Bước 4.4.2

Giải $u^{2} - 8 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$u^{2} = 8$

Bước 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Bước 4.4.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Bước 4.4.2.3.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 4.4.2.3.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 4.4.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$u = 2 \sqrt{2}$

Bước 4.4.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Bước 4.4.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Bước 4.5

Đặt $u^{2} + 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đặt $u^{2} + 2$ bằng với $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Bước 4.5.2

Giải $u^{2} + 2 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} = - 2$

Bước 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Bước 4.5.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.3.1

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Bước 4.5.2.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (2)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Bước 4.5.2.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

Bước 4.5.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$u = i \sqrt{2}$

Bước 4.5.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$u = - i \sqrt{2}$

Bước 4.5.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Bước 4.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ đúng.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Bước 5

Thay $2 \sqrt{2}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Bước 6

Giải $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Bước 6.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Bước 6.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Bước 6.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Bước 6.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Bước 7

Thay $- 2 \sqrt{2}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Bước 8

Giải $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Bước 8.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Bước 8.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 2 \sqrt{2})$ không xác định.

Không xác định

Bước 8.4

Không có đáp án nào cho $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Không có đáp án

Bước 9

Thay $i \sqrt{2}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Bước 10

Giải $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Bước 10.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Bước 10.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Bước 10.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Bước 10.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Bước 10.4

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Viết lại $\ln (i \sqrt{2})$ ở dạng $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Bước 10.4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.4.3

Khai triển $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Bước 10.4.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Bước 10.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.1

Viết lại $\frac{\ln (2)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Bước 10.5.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (2)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.5.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Bước 11

Thay $- i \sqrt{2}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Bước 12

Giải $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Bước 12.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Bước 12.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- i \sqrt{2})$ không xác định.

Không xác định

Bước 12.4

Không có đáp án nào cho $e^{x} = - i \sqrt{2}$

Không có đáp án

Bước 13

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$