Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin^{2} (3 x) - \sin^{2} (x) = 0$

Bước 1

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sin (3 x)$ và $b = \sin (x)$ .

$(\sin (3 x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức góc nhân ba cho sin.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Bước 1.3

Cộng $3 \sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Bước 1.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân ba cho sin.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \sin (x)) = 0$

Bước 1.5

Trừ $\sin (x)$ khỏi $3 \sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.6

Khai triển $(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.2

Nhân $\sin^{3} (x)$ với $\sin^{3} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.1

Di chuyển $\sin^{3} (x)$ .

$- 4 \cdot (- 4 (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x))) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 4 \cdot (- 4 {\sin (x)}^{3 + 3}) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.2.3

Cộng $3$ và $3$ .

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{6} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.3

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.4

Nhân $\sin^{3} (x)$ với $\sin (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.4.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.4.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 \sin^{6} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 3} \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{4} (x) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.5

Nhân $2$ với $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.6

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{3} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.6.1

Di chuyển $\sin^{3} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.6.2

Nhân $\sin^{3} (x)$ với $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.6.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 {\sin (x)}^{3 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.6.3

Cộng $3$ và $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.7

Nhân $- 4$ với $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.8

Nhân $4 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.8.1

Nhân $2$ với $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin (x) \sin (x) = 0$

Bước 1.7.1.8.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.8.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Bước 1.7.1.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Bước 1.7.1.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 1.7.2

Trừ $16 \sin^{4} (x)$ khỏi $- 8 \sin^{4} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 2

Phân tích $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $8 \sin^{2} (x)$ ra ngoài $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $8 \sin^{2} (x)$ ra ngoài $16 \sin^{6} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 2.1.2

Đưa $8 \sin^{2} (x)$ ra ngoài $- 24 \sin^{4} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 2.1.3

Đưa $8 \sin^{2} (x)$ ra ngoài $8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Bước 2.1.4

Đưa $8 \sin^{2} (x)$ ra ngoài $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x))$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Bước 2.1.5

Đưa $8 \sin^{2} (x)$ ra ngoài $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Bước 2.2

Viết lại $\sin^{4} (x)$ ở dạng ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 {(\sin^{2} (x))}^{2} - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Bước 2.3

Giả sử $u = \sin^{2} (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Bước 2.4

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ và có tổng là $b = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 u$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Bước 2.4.1.2

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1$ cộng $- 2$

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Bước 2.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Bước 2.4.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$8 \sin^{2} (x) ((2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1) = 0$

Bước 2.4.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$8 \sin^{2} (x) (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Bước 2.4.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Bước 2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1)) = 0$

Bước 2.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Bước 2.7

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sin (x)$ và $b = 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1))) = 0$

Bước 2.7.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Bước 2.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Bước 4

Đặt $\sin^{2} (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\sin^{2} (x)$ bằng với $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Bước 4.2

Giải $\sin^{2} (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\sin (x) = \pm 0$

Bước 4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 4.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 4.2.6

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 4.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đặt $2 \sin^{2} (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $2 \sin^{2} (x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 5.2

Giải $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin^{2} (x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin^{2} (x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Chia $\sin^{2} (x)$ cho $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 5.2.4.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 5.2.4.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 5.2.4.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 5.2.4.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.2.4.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.2.4.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.4.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.4.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 5.2.4.4.6.5

Tính số mũ.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.6

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.7

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.2.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.4

Rút gọn $π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.7.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 5.2.7.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.4.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 5.2.7.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.7.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.7.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.7.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.2.8

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 5.2.8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.8.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Bước 5.2.8.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Bước 5.2.8.4.2

Góc tìm được $\frac{5 π}{4}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 5.2.8.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.8.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.8.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.8.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.8.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Bước 5.2.8.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.8.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.8.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 5.2.8.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.6.4.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Bước 5.2.8.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Bước 5.2.8.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 5.2.8.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.2.9

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.2.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $\sin (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\sin (x) + 1$ bằng với $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $\sin (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = - 1$

Bước 6.2.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 6.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 6.2.5.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.6

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.7

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 6.2.7.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.7.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.7.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.2.7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 6.2.7.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.7.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đặt $\sin (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\sin (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $\sin (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = 1$

Bước 7.2.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (1)$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 7.2.4

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 7.2.5

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.2.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 7.2.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 7.2.5.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 7.2.6

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 7.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 7.2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 7.2.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hợp nhất $2 π n$ và $π + 2 π n$ để $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9.2

Hợp nhất $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ và $\frac{π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9.3

Hợp nhất $π n$ và $\frac{π}{2} + π n$ để $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9.4

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π n}{4}$ , cho mọi số nguyên $n$