Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Bước 1

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Bước 2

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Bước 3

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Bước 4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 2$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3

Cộng $4$ và $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Bước 6.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Bước 7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 8

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 10

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Bước 10.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Bước 10.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Bước 10.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Bước 10.4.2

Góc tìm được $2.76685822$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2.76685822$

Bước 10.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 10.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 10.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 10.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Khoảng biến thiên của sin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 12

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$