Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

Bước 1

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

Bước 2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 8$ , và $c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.3

Cộng $64$ và $16$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.4

Viết lại $80$ ở dạng $4^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $80$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Bước 5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Bước 6

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Bước 7

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

Bước 8

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Quy đổi vế phải của phương trình sang dạng thập phân tương ứng của nó.

$\sin (x) = 8.47213595$

Bước 8.2

Khoảng biến thiên của sin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $8.47213595$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 9

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Quy đổi vế phải của phương trình sang dạng thập phân tương ứng của nó.

$\sin (x) = - 0.47213595$

Bước 9.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

Bước 9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Tính $\arcsin (- 0.47213595)$ .

$x = - 0.49171223$

Bước 9.4

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

Bước 9.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

Bước 9.5.2

Góc tìm được $3.63330488$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 3.63330488$

Bước 9.6

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 9.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 9.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 9.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 9.7

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Cộng $2 π$ vào $- 0.49171223$ để tìm góc dương.

$- 0.49171223 + 2 π$

Bước 9.7.2

Trừ $0.49171223$ khỏi $2 π$ .

$5.79147307$

Bước 9.7.3

Liệt kê các góc mới.

$x = 5.79147307$

Bước 9.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$