Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 1)) = \frac{1}{2}$

Bước 1.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{1}{2}$

Bước 1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$

Bước 2

Viết lại $\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{1}{2}} = x^{2} - x$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn $4^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x^{2} - x = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - x = 2^{1}$

Bước 3.2.3

Tính số mũ.

$x^{2} - x = 2$

Bước 3.3

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Bước 3.4

Phân tích $x^{2} - x - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 2, 1$

Bước 3.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Bước 3.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 3.6

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 3.6.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 3.7

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 3.7.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 2, - 1$

Bước 4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$ đúng.

$x = 2$