Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

Bước 1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$\ln (x - 1), 1$

Bước 1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$\ln (x - 1)$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ với $\ln (x - 1)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ với $\ln (x - 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $2 \ln (x - 1)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

Bước 3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${(x - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại.

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Bước 3.2.1.3

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Bước 3.2.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Bước 3.2.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.2.1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.2.1.4.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.2.1.4.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.2.1.4.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.2.1.4.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Bước 3.2.1.4.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Bước 3.2.2

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

Bước 3.2.3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Bước 3.2.3.2

Trừ $x$ khỏi $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Bước 3.2.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Bước 3.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Bước 3.2.5.2

Cộng $x^{2} - 3 x$ và $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Bước 3.2.6

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Bước 3.2.6.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Bước 3.2.6.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Bước 3.2.7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 3.2.8

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.2.9

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.2.9.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 3.2.10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x - 3) = 0$ đúng.

$x = 0, 3$

Bước 4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ đúng.

$x = 3$