Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 \sin (x) - 1 = \frac{3}{\sin (x)}$

Bước 1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, \sin (x), 1$

Bước 2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$\sin (x)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ với $\sin (x)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $\sin (x)$ với $\sin (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Bước 3.2.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Bước 3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 \sin^{2} (x) = 3 + 1 \sin (x)$

Bước 3.3.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 3 + \sin (x)$

Bước 4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $\sin (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 3$

Bước 4.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.3.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $2$ cộng $- 3$

$2 \sin^{2} (x) + (2 - 3) \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$2 \sin (x) (\sin (x) + 1) - 3 (\sin (x) + 1) = 0$

Bước 4.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$

Bước 4.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.5

Đặt $\sin (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đặt $\sin (x) + 1$ bằng với $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Bước 4.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = - 1$

Bước 4.6

Đặt $2 \sin (x) - 3$ bằng $0$ và giải tìm $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt $2 \sin (x) - 3$ bằng với $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.6.2

Giải $2 \sin (x) - 3 = 0$ để tìm $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (x) = 3$

Bước 4.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = 3$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Bước 4.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Bước 4.6.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Bước 4.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$ đúng.

$\sin (x) = - 1, \frac{3}{2}$

Bước 5

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Bước 6

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 6.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 6.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 6.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 6.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 6.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 6.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Khoảng biến thiên của sin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $\frac{3}{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$