Giải tích sơ cấp Ví dụ

3 = \log_{x} (512)

$3 = \log_{x} (512)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ .

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$

Bước 2

Viết lại

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu

x

$x$ và

b

$b$ là các số thực dương và

b \neq 1

$b \neq 1$ , thì

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

x^{3} = 512

$x^{3} = 512$

Bước 3

Giải tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ

512

$512$ khỏi cả hai vế của phương trình.

x^{3} - 512 = 0

$x^{3} - 512 = 0$

Bước 3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại

512

$512$ ở dạng

8^{3}

$8^{3}$ .

x^{3} - 8^{3} = 0

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Bước 3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó

a = x

$a = x$ và

b = 8

$b = 8$ .

(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Di chuyển

8

$8$ sang phía bên trái của

x

$x$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Bước 3.2.3.2

Nâng

8

$8$ lên lũy thừa

2

$2$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng

0

$0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Bước 3.4

Đặt

x - 8

$x - 8$ bằng

0

$0$ và giải tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt

x - 8

$x - 8$ bằng với

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

Bước 3.4.2

Cộng

8

$8$ cho cả hai vế của phương trình.

x = 8

$x = 8$

x = 8

$x = 8$

Bước 3.5

Đặt

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ bằng

0

$0$ và giải tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ bằng với

0

$0$ .

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Bước 3.5.2

Giải

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ để tìm

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5.2.2

Thay các giá trị

a = 1

$a = 1$ ,

b = 8

$b = 8$ , và

c = 64

$c = 64$ vào công thức bậc hai và giải tìm

x

$x$ .

\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.1

Nâng

8

$8$ lên lũy thừa

2

$2$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.2

Nhân

- 4 \cdot 1 \cdot 64

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.2.1

Nhân

- 4

$- 4$ với

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.2.2

Nhân

- 4

$- 4$ với

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.3

Trừ

256

$256$ khỏi

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.4

Viết lại

- 192

$- 192$ ở dạng

- 1 (192)

$- 1 (192)$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.5

Viết lại

\sqrt{- 1 (192)}

$\sqrt{- 1 (192)}$ ở dạng

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.6

Viết lại

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ ở dạng

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.7

Viết lại

192

$192$ ở dạng

8^{2} \cdot 3

$8^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.7.1

Đưa

64

$64$ ra ngoài

192

$192$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.7.2

Viết lại

64

$64$ ở dạng

8^{2}

$8^{2}$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.1.9

Di chuyển

8

$8$ sang phía bên trái của

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.3.2

Nhân

2

$2$ với

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.5.2.3.3

Rút gọn

\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Bước 3.5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ đúng.

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$