Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (15) = (\frac{1}{2}) \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giá trị chính xác của $\sin (15)$ là $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia $15$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\sin (45 - 30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.2

Tách dấu âm.

$\sin (45 - (30)) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.3

Áp dụng công thức hiệu của góc.

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.8

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.8.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.8.1.2

Nhân $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 1.1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2}$

Bước 3

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Bước 4

Nhân cả hai vế với $2$ .

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} \cdot 2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} \cdot 2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Bước 5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 (2)} \cdot 2$

Bước 5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Bước 5.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 6

Giải tìm $A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{A - \sqrt{B}}}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ ở dạng ${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 6.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 6.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(A - \sqrt{B})}^{1} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 6.2.2.1.2

Rút gọn.

$A - \sqrt{B} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn ${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 6.2.3.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4}$

Bước 6.2.3.1.1.3

Viết lại ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ ở dạng $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.2

Khai triển $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.2

Nhân $6$ với $6$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.3

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.5

Nhân $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.5.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.5.2

Nhân $6$ với $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.6

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.6.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.9

Nhân $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.9.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.9.2

Nhân $6$ với $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.10

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.10.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.12

Nhân $2$ với $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.13

Nhân $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.13.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.13.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.13.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.13.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.13.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.13.6

Cộng $1$ và $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.14

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.14.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.14.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.14.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.14.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.3.1.14.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.14.4.2

Viết lại biểu thức.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.1.14.5

Tính số mũ.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.2

Cộng $6$ và $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Bước 6.2.3.1.3.3

Trừ $2 \sqrt{3}$ khỏi $- 2 \sqrt{3}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Bước 6.2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8 - 4 \sqrt{3}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Bước 6.2.3.1.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sqrt{3}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Bước 6.2.3.1.4.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4}$

Bước 6.2.3.1.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.4.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Bước 6.2.3.1.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$A - \sqrt{B} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Bước 6.2.3.1.4.4.4

Chia $2 - \sqrt{3}$ cho $1$ .

$A - \sqrt{B} = 2 - \sqrt{3}$

Bước 6.3

Cộng $\sqrt{B}$ cho cả hai vế của phương trình.

$A = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{B}$