Giải tích sơ cấp Ví dụ

$9 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

Bước 1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{9 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 2

Thay thế $\cos (x)$ bằng một biểu thức tương đương trong tử số.

$9 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(9 \cdot 1 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $9$ với $1$ .

$(9 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 4.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 5

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 (\frac{1}{\cos (x)}) - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 6.2

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $- 9 \cos (x)$ .

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 6.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách các phân số.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 7.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{9}{1} \cdot \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 7.3

Chia $9$ cho $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 8

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 9

Tách các phân số.

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 10

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

Bước 11

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Bước 12

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$9 \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Bước 12.1.2

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Bước 13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn $\sin (x) \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.1.2

Nhân $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.1.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.1.2.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Bước 13.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 14

Nhân cả hai vế của phương trình với $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{9}{\cos (x)} - 9) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 15

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 16

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 16.2

Viết lại biểu thức.

$9 + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 17

Di chuyển $- 9$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$9 - 9 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 18

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 - 9 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Bước 18.2

Viết lại biểu thức.

$9 - 9 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

Bước 19

Trừ $\sin^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 - 9 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Bước 20

Thay thế $\sin^{2} (x)$ bằng $1 - \cos^{2} (x)$ .

$9 - 9 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 21

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$9 - 9 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Bước 21.2

Rút gọn $9 - 9 u - (1 - u^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 - 9 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Bước 21.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$9 - 9 u - 1 - - u^{2} = 0$

Bước 21.2.1.3

Nhân $- - u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$9 - 9 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Bước 21.2.1.3.2

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$9 - 9 u - 1 + u^{2} = 0$

Bước 21.2.2

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$- 9 u + 8 + u^{2} = 0$

Bước 21.3

Phân tích $- 9 u + 8 + u^{2}$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $8$ và tổng của chúng là $- 9$ .

$- 8, - 1$

Bước 21.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Bước 21.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Bước 21.5

Đặt $u - 8$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.5.1

Đặt $u - 8$ bằng với $0$ .

$u - 8 = 0$

Bước 21.5.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 8$

Bước 21.6

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.6.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 21.6.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 21.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 8) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = 8, 1$

Bước 21.8

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = 8, 1$

Bước 21.9

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = 8$

$\cos (x) = 1$

Bước 21.10

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.10.1

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $8$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 21.11

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.11.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 21.11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.11.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 21.11.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 21.11.4

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 21.11.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.11.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 21.11.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 21.11.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 21.11.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 21.11.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 21.12

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 21.13

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$