Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 1.1.2

Khai triển $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.3.2

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.3.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.3.5

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 1.1.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 4

Tách các phân số.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 10

Tách các phân số.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 11

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 12

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 13.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 14

Tách các phân số.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 15

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 16

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 17

Tách các phân số.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 18

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 19

Chia $0$ cho $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Bước 20

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Bước 21

Phân tích $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Bước 21.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

Bước 21.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $1 - \sec (x)$ .

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

Bước 22

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Bước 23

Đặt $1 - \sec (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Đặt $1 - \sec (x)$ bằng với $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

Bước 23.2

Giải $1 - \sec (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sec (x) = - 1$

Bước 23.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \sec (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sec (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 23.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 23.2.2.2.2

Chia $\sec (x)$ cho $1$ .

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 23.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\sec (x) = 1$

Bước 23.2.3

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (1)$

Bước 23.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.4.1

Giá trị chính xác của $arcsec (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 23.2.5

Hàm secant dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 23.2.6

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 23.2.7

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 23.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 23.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 23.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 23.2.8

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 24

Đặt $\tan (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Đặt $\tan (x) + 1$ bằng với $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Bước 24.2

Giải $\tan (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = - 1$

Bước 24.2.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 24.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 24.2.4

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 24.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.5.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 24.2.5.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 24.2.6

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 24.2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 24.2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 24.2.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 24.2.7

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.7.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 24.2.7.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 24.2.7.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.7.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 24.2.7.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 24.2.7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.7.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 24.2.7.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 24.2.7.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 24.2.8

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 25

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 26

Hợp nhất $2 π n$ và $2 π + 2 π n$ để $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$