Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x} - e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Bước 2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Bước 2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $e^{- x}$ dưới dạng số mũ.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.2

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.4

Viết lại $e^{- x}$ dưới dạng số mũ.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.5

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.6.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 3.7

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Trừ $3 e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Bước 3.7.2

Cộng $3 e^{- x}$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Bước 3.7.3

Trừ $3 e^{x}$ khỏi $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Bước 3.7.4

Cộng $e^{- x}$ và $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Bước 3.8

Di chuyển $- 2 e^{x}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng nó vào cả hai vế.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Bước 3.9

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Bước 3.10

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Viết lại $\ln (4 e^{- x})$ ở dạng $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Bước 3.10.2

Khai triển $\ln (e^{- x})$ bằng cách di chuyển $- x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Bước 3.10.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Bước 3.10.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Bước 3.11

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Viết lại $\ln (2 e^{x})$ ở dạng $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Bước 3.11.2

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Bước 3.11.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Bước 3.11.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Bước 3.12

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Bước 3.13

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Bước 3.14

Chia $4$ cho $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Bước 3.15

Cộng $x$ và $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Bước 3.16

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$2 x = \ln (2)$

Bước 3.17

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \ln (2)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \ln (2)$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Bước 3.17.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Bước 3.17.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Dạng thập phân:

$x = 0.34657359 \dots$