Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{e^{x} + 81 e^{- x}}{2} = 9$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $2$ .

$\frac{e^{x} + 81 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 9 \cdot 2$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} + 81 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 9 \cdot 2$

Bước 2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x} + 81 e^{- x} = 9 \cdot 2$

Bước 2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $9$ với $2$ .

$e^{x} + 81 e^{- x} = 18$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $e^{- x}$ dưới dạng số mũ.

$e^{x} + 81 {(e^{x})}^{- 1} = 18$

Bước 3.2

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u + 81 u^{- 1} = 18$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 81 (\frac{1}{u}) = 18$

Bước 3.3.2

Kết hợp $81$ và $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{81}{u} = 18$

Bước 3.4

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, u, 1$

Bước 3.4.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$u$

Bước 3.4.2

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{81}{u} = 18$ với $u$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{81}{u} = 18$ với $u$ .

$u \cdot u + \frac{81}{u} u = 18 u$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Nhân $u$ với $u$ .

$u^{2} + \frac{81}{u} u = 18 u$

Bước 3.4.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{2} + \frac{81}{u} u = 18 u$

Bước 3.4.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$u^{2} + 81 = 18 u$

Bước 3.4.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Trừ $18 u$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + 81 - 18 u = 0$

Bước 3.4.3.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$u^{2} - 18 u + 81 = 0$

Bước 3.4.3.2.2

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$u^{2} - 18 u + 9^{2} = 0$

Bước 3.4.3.2.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Bước 3.4.3.2.4

Viết lại đa thức này.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2} = 0$

Bước 3.4.3.2.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 9$ .

${(u - 9)}^{2} = 0$

Bước 3.4.3.3

Đặt $u - 9$ bằng $0$ .

$u - 9 = 0$

Bước 3.4.3.4

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 9$

Bước 3.5

Thay $9$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$9 = e^{x}$

Bước 3.6

Giải $9 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 9$ .

$e^{x} = 9$

Bước 3.6.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (9)$

Bước 3.6.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (9)$

Bước 3.6.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (9)$

Bước 3.6.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (9)$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \ln (9)$

Dạng thập phân:

$x = 2.19722457 \dots$