Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

Bước 1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

Bước 2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ bằng cách di chuyển $x - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

Bước 2.2

Nhân $2^{2 x}$ với $2^{2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

Bước 2.2.2

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

Bước 2.3

Khai triển $\ln (2^{4 x})$ bằng cách di chuyển $4 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Bước 3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Bước 3.1.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Bước 3.1.1.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Bước 3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Bước 3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Bước 3.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ .

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Bước 4

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

Bước 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6

Thay các giá trị $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ , và $c = - \ln (8)$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.2

Giả sử $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.2.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.5.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.5.3

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.6

Đưa $4 \ln (2)$ ra ngoài $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Đưa $4 \ln (2)$ ra ngoài $4 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.6.2

Đưa $4 \ln (2)$ ra ngoài $4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.6.3

Đưa $4 \ln (2)$ ra ngoài $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.7

Nhân $4$ với $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.8

Viết lại $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Dạng thập phân:

$x = 1.5, - 0.5$