Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (2 t) = \sqrt{2} \cos (t)$

Bước 1

Trừ $\sqrt{2} \cos (t)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (2 t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Bước 3

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Bước 3.2

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $- \sqrt{2} \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2}) = 0$

Bước 3.3

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2})$ .

$\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (t) = 0$

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Bước 5

Đặt $\cos (t)$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\cos (t)$ bằng với $0$ .

$\cos (t) = 0$

Bước 5.2

Giải $\cos (t) = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong cosin.

$t = \arccos (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Bước 5.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 5.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Bước 5.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (t)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ bằng với $0$ .

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Bước 6.2

Giải $2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $\sqrt{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$

Bước 6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 6.2.2.2.1.2

Chia $\sin (t)$ cho $1$ .

$\sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 6.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong hàm sin.

$t = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 6.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Bước 6.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$t = π - \frac{π}{4}$

Bước 6.2.6

Rút gọn $π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 6.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 6.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 6.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 6.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{4}$

Bước 6.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (t)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$t = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$ đúng.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất $\frac{π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$t = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$