Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 1

Thay thế $\csc^{2} (u)$ bằng $\cot^{2} (u) + 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Bước 3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Di chuyển $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1.1

Viết lại $\csc (u)$ theo sin và cosin.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (u)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.1.4

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1.4.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.1.4.2

Sắp xếp lại $\cos (u)$ và $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.1.4.3

Viết lại $- \cos (u) \sec (u)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.1.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.2.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.4.2.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (u)}$ sang $\csc (u)$ .

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Bước 3.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Bước 4

Vì các số mũ bằng nhau, nên cơ số của các số mũ ở cả hai vế của phương trình cũng phải bằng nhau.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Bước 5

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình chứa giá trị tuyệt đối ở dạng bốn phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Bước 5.2

Sau khi rút gọn, chỉ có hai phương trình duy nhất cần giải.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Bước 5.3

Giải $\cot (u) = \cot (u)$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Để hai hàm số bằng nhau, các đối số của mỗi hàm phải bằng nhau.

$u = u$

Bước 5.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $u$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Trừ $u$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u - u = 0$

Bước 5.3.2.2

Trừ $u$ khỏi $u$ .

$0 = 0$

Bước 5.3.3

Vì $0 = 0$ , phương trình luôn đúng.

Tất cả các số thực

Bước 5.4

Giải $\cot (u) = - \cot (u)$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $\cot (u)$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Cộng $\cot (u)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Bước 5.4.1.2

Cộng $\cot (u)$ và $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Bước 5.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cot (u) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cot (u) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 5.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 5.4.2.2.1.2

Chia $\cot (u)$ cho $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Bước 5.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$\cot (u) = 0$

Bước 5.4.3

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $u$ từ trong hàm cotang.

$u = arccot (0)$

Bước 5.4.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Giá trị chính xác của $arccot (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Bước 5.4.5

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$u = π + \frac{π}{2}$

Bước 5.4.6

Rút gọn $π + \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 5.4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 5.4.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Bước 5.4.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.6.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Bước 5.4.6.3.2

Cộng $2 π$ và $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Bước 5.4.7

Tìm chu kỳ của $\cot (u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.4.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.4.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.4.7.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.4.8

Chu kỳ của hàm $\cot (u)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Hợp nhất các câu trả lời.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$