Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

Bước 1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

Bước 1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = v$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

Bước 2.2

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.3

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.5

$4$ có các thừa số là $2$ và $2$ .

$2 \cdot 2$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $2$ .

$4$

Bước 2.7

Thừa số cho $v - 1$ là chính nó $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.8

Thừa số cho $v + 1$ là chính nó $v + 1$ .

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.9

Thừa số cho $v - 1$ là chính nó $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.10

BCNN của $v - 1, v + 1, v - 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$(v - 1) (v + 1)$

Bước 2.11

Bội số chung nhỏ nhất $LCM$ của một vài số là số nhỏ nhất mà các số là các thừa số của nó.

$4 (v - 1) (v + 1)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ với $4 (v - 1) (v + 1)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ với $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $v - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.6

Nhân $2$ với $1$ .

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.8

Nhân $4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.8.1

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.8.2

Nhân $4$ với $3$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $(v - 1) (v + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.9.1

Đưa $(v - 1) (v + 1)$ ra ngoài $(v + 1) (v - 1)$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.1.9.3

Viết lại biểu thức.

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.2.2

Cộng $2$ và $12$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Bước 3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

Bước 3.3.2

Khai triển $(v - 1) (v + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

Bước 3.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

Bước 3.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

Bước 3.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $v \cdot 1$ và $- 1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

Bước 3.3.3.1.2

Trừ $1 v$ khỏi $1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

Bước 3.3.3.1.3

Cộng $v \cdot v$ và $0$ .

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Nhân $v$ với $v$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

Bước 3.3.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

Bước 4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $v^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

Bước 4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

Bước 4.3

Cộng $14$ và $1$ .

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

Bước 4.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 v - v^{2} + 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Sắp xếp lại $2 v$ và $- v^{2}$ .

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

Bước 4.4.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- v^{2}$ .

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

Bước 4.4.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 v$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

Bước 4.4.1.4

Viết lại $15$ ở dạng $- 1 (- 15)$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Bước 4.4.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (v^{2}) - (- 2 v)$ .

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Bước 4.4.1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ .

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

Bước 4.4.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Phân tích $v^{2} - 2 v - 15$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 15$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 5, 3$

Bước 4.4.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

Bước 4.4.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

Bước 4.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

Bước 4.6

Đặt $v - 5$ bằng $0$ và giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt $v - 5$ bằng với $0$ .

$v - 5 = 0$

Bước 4.6.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$v = 5$

Bước 4.7

Đặt $v + 3$ bằng $0$ và giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đặt $v + 3$ bằng với $0$ .

$v + 3 = 0$

Bước 4.7.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$v = - 3$

Bước 4.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (v - 5) (v + 3) = 0$ đúng.

$v = 5, - 3$