Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sec (θ) \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $\sec (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\cos (θ)} \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1.1.2

Viết lại $\tan (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1.1.3

Nhân $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $\frac{1}{\cos (θ)}$ với $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1.1.3.2

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1.1.3.3

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Bước 1.1.4

Viết lại $\cot (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Bước 1.1.5

Nhân $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Kết hợp $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ và $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Bước 1.1.5.2

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Bước 1.1.5.3

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Bước 1.1.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Bước 1.1.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Bước 2

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 4

Nhân $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\sin (θ)$ và $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 4.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 4.3

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \sin (θ)$

Bước 7

Nhân $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Bước 7.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Bước 7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Bước 7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Bước 8

Trừ $\sin^{2} (θ)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Bước 9

Rút gọn $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Bước 9.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ)) = 0$

Bước 9.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ))$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) = 0$

Bước 9.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Bước 9.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 9.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Quy đổi từ $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ sang $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 9.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Bước 10

Giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Bước 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Bước 10.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Bước 10.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\tan (θ) = 1$

Bước 10.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\tan (θ) = - 1$

Bước 10.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Bước 10.5

Lập từng đáp án để giải tìm $θ$ .

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Bước 10.6

Giải tìm $θ$ trong $\tan (θ) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm tang.

$θ = \arctan (1)$

Bước 10.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Bước 10.6.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Bước 10.6.4

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 10.6.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 10.6.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 10.6.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.4.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 10.6.4.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Bước 10.6.5

Tìm chu kỳ của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 10.6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 10.6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 10.6.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 10.6.6

Chu kỳ của hàm $\tan (θ)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10.7

Giải tìm $θ$ trong $\tan (θ) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong hàm tang.

$θ = \arctan (- 1)$

Bước 10.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Bước 10.7.3

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Bước 10.7.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.4.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 10.7.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Bước 10.7.5

Tìm chu kỳ của $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 10.7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 10.7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 10.7.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 10.7.6

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.6.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 10.7.6.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 10.7.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.6.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 10.7.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 10.7.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.6.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 10.7.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 10.7.6.5

Liệt kê các góc mới.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Bước 10.7.7

Chu kỳ của hàm $\tan (θ)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10.8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$