Giải tích sơ cấp Ví dụ

$25^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $25^{x}$ ở dạng ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Bước 1.2

Viết lại ${(5^{2})}^{x}$ ở dạng ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 12 \cdot 5^{x} + 11 = 0$

Bước 1.3

Giả sử $u = 5^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $5^{x}$ .

$u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Bước 1.4

Phân tích $u^{2} - 12 u + 11$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $11$ và tổng của chúng là $- 12$ .

$- 11, - 1$

Bước 1.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 11) (u - 1) = 0$

Bước 1.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5^{x}$ .

$(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

$5^{x} - 1 = 0$

Bước 3

Đặt $5^{x} - 11$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $5^{x} - 11$ bằng với $0$ .

$5^{x} - 11 = 0$

Bước 3.2

Giải $5^{x} - 11 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $11$ cho cả hai vế của phương trình.

$5^{x} = 11$

Bước 3.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (5^{x}) = \ln (11)$

Bước 3.2.3

Khai triển $\ln (5^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (5) = \ln (11)$

Bước 3.2.4

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = \ln (11)$ cho $\ln (5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = \ln (11)$ cho $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Bước 3.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Bước 3.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}$

Bước 4

Đặt $5^{x} - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $5^{x} - 1$ bằng với $0$ .

$5^{x} - 1 = 0$

Bước 4.2

Giải $5^{x} - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$5^{x} = 1$

Bước 4.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (5^{x}) = \ln (1)$

Bước 4.2.3

Khai triển $\ln (5^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (5) = \ln (1)$

Bước 4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$x \ln (5) = 0$

Bước 4.2.5

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = 0$ cho $\ln (5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = 0$ cho $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Bước 4.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{0}{\ln (5)}$

Bước 4.2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (5)}$

Bước 4.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.3.1

Chia $0$ cho $\ln (5)$ .

$x = 0$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(5^{x} - 11) (5^{x} - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{\ln (11)}{\ln (5)}, 0$

Dạng thập phân:

$x = 1.48989610 \dots, 0$