Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Bước 1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Bước 2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Bước 3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Bước 5

Nhân $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ với $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Bước 6

Viết lại $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ dưới dạng số mũ bằng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b$ $\neq$ $1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Bước 7

Nhân chéo để loại bỏ phân số.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Bước 8

Rút gọn $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Khai triển $(x + 4) (x - 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Bước 8.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Bước 8.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Bước 8.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot - 4$ và $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Bước 8.2.1.2

Cộng $- 4 x$ và $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Bước 8.2.1.3

Cộng $x \cdot x$ và $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Bước 8.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Bước 8.2.2.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Bước 8.2.3

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Bước 8.2.3.2

Nhân $10$ với $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Bước 9

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ $10 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Bước 9.2

Trừ $10 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Bước 10

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Bước 10.2

Viết lại $9 x^{2}$ ở dạng ${(3 x)}^{2}$ .

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Bước 10.3

Sắp xếp lại $- {(3 x)}^{2}$ và $4^{2}$ .

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Bước 10.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 4$ và $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Bước 10.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Bước 11

Rút gọn $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Khai triển $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Bước 11.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Bước 11.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Bước 11.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $4 (- 3 x)$ và $3 x \cdot 4$ .

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Bước 11.2.1.2

Cộng $- 3 \cdot 4 x$ và $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Bước 11.2.1.3

Cộng $4 \cdot 4$ và $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Bước 11.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nhân $4$ với $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Bước 11.2.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Bước 11.2.2.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.3.1

Di chuyển $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Bước 11.2.2.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Bước 11.2.2.4

Nhân $3$ với $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Bước 12

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Bước 12.2

Trừ $16$ khỏi $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Bước 13

Chia mỗi số hạng trong $- 9 x^{2} = - 176$ cho $- 9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Chia mỗi số hạng trong $- 9 x^{2} = - 176$ cho $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Bước 13.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Bước 13.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Bước 13.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Bước 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Bước 15

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại $\sqrt{\frac{176}{9}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Bước 15.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Viết lại $176$ ở dạng $4^{2} \cdot 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Đưa $16$ ra ngoài $176$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Bước 15.2.1.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Bước 15.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Bước 15.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 15.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Bước 16

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Bước 16.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Bước 16.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Bước 17

Loại bỏ đáp án không làm cho $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ đúng.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Bước 18

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Dạng thập phân:

$x = 4.42216638 \dots$