Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (x - 1) + \ln (x) = 0$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) x) = 0$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x \cdot x - 1 x) = 0$

Bước 1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 x) = 0$

Bước 1.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = 0$

Bước 2

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2} - x)} = e^{0}$

Bước 3

Viết lại $\ln (x^{2} - x) = 0$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} - x$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} - x = e^{0}$ .

$x^{2} - x = e^{0}$

Bước 4.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$x^{2} - x = 1$

Bước 4.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - x - 1 = 0$

Bước 4.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.5

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 4.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 5

Loại bỏ đáp án không làm cho $\ln (x - 1) + \ln (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Dạng thập phân:

$x = 1.61803398 \dots$