Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

Bước 1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

Bước 2

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x + 1$

Bước 3.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1, x + 1$

Bước 3.1.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x + 1$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ với $x + 1$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ với $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Bước 3.2.2.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Bước 3.2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + x = 3 x + 1$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Trừ $3 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + x - 3 x = 1$

Bước 3.3.1.2

Trừ $3 x$ khỏi $x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Bước 3.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Bước 3.3.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.3.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.3.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Bước 3.3.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Bước 4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ đúng.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Dạng thập phân:

$x = 2.41421356 \dots$