Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Khai triển $(2 x + 5) (x - 7)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Nhân $5$ với $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 1.2.2.2

Cộng $- 14 x$ và $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Bước 2.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Bước 2.1.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ và có tổng là $b = - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Đưa $- 9$ ra ngoài $- 9 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Bước 2.1.3.1.2

Viết lại $- 9$ ở dạng $5$ cộng $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Bước 2.1.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Bước 2.1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Bước 2.1.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Bước 2.1.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Bước 3

Viết lại $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ dưới dạng số mũ bằng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b$ $\neq$ $1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Bước 4

Nhân chéo để loại bỏ phân số.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Bước 5

Rút gọn $e^{0} (x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Bước 5.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Bước 6

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Khai triển $(2 x + 5) (x - 7)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Bước 6.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Bước 6.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Bước 6.2.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Bước 6.2.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Bước 6.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Bước 6.2.2.1.3

Nhân $5$ với $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 14 x$ và $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Bước 6.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Bước 7

Cộng $35$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 9 x = 35$

Bước 8

Trừ $35$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Bước 9

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 10

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 9$ , và $c = - 35$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.3

Cộng $81$ và $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Bước 12

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Bước 13

Loại bỏ đáp án không làm cho $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Dạng thập phân:

$x = 11.93303437 \dots$