Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (x) + 1 = \sin (x)$

Bước 1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = \sin (x) - 1$

Bước 2

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$\cos^{2} (x) = {(\sin (x) - 1)}^{2}$

Bước 3

Rút gọn ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ ở dạng $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ .

$\cos^{2} (x) = (\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$

Bước 3.2

Khai triển $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\sin (x) - 1) - 1 (\sin (x) - 1)$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 (\sin (x) - 1)$

Bước 3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.3

Viết lại $- 1 \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.4

Viết lại $- 1 \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1$

Bước 3.3.2

Trừ $\sin (x)$ khỏi $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

Bước 4

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $\sin^{2} (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - 2 \sin (x) + 1$

Bước 4.2

Cộng $2 \sin (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 1$

Bước 4.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Bước 5

Rút gọn $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $\cos^{2} (x)$ và $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.6

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 5.8

Trừ $\sin^{2} (x)$ khỏi $- \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giả sử $u = \sin (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\sin (x)$ .

$- 2 u^{2} + 2 u = 0$

Bước 6.1.2

Đưa $2 u$ ra ngoài $- 2 u^{2} + 2 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $2 u$ ra ngoài $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 2 u = 0$

Bước 6.1.2.2

Đưa $2 u$ ra ngoài $2 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (1) = 0$

Bước 6.1.2.3

Đưa $2 u$ ra ngoài $2 u (- u) + 2 u (1)$ .

$2 u (- u + 1) = 0$

Bước 6.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Bước 6.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

Bước 6.3

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 6.3.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.3.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 6.3.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 6.3.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.3.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.3.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.3.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.3.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6.4

Đặt $- \sin (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đặt $- \sin (x) + 1$ bằng với $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Bước 6.4.2

Giải $- \sin (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sin (x) = - 1$

Bước 6.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.4.2.2.2.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Bước 6.4.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (1)$

Bước 6.4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6.4.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 6.4.2.6

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.4.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.4.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.4.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.6.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 6.4.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6.4.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.4.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.4.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.4.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.4.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Hợp nhất $2 π n$ và $π + 2 π n$ để $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Loại bỏ đáp án không làm cho $\cos (x) + 1 = \sin (x)$ đúng.

$x = 1.57079632, 3.14159265, 7.85398163, 9.42477796, 14.13716694, 15.70796326, 20.42035224, 21.99114857, 26.70353755, 32.98672286, 39.26990816, 45.55309347$ , cho mọi số nguyên $n$