Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan (2 x) = \tan (x)$

Bước 1

Trừ $\tan (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho tang.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Bước 2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Bước 2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Bước 3

Đưa $\tan (x)$ ra ngoài $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $\tan (x)$ ra ngoài $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Bước 3.2

Đưa $\tan (x)$ ra ngoài $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 3.3

Đưa $\tan (x)$ ra ngoài $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Bước 5

Đặt $\tan (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\tan (x)$ bằng với $0$ .

$\tan (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\tan (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5.2.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + 0$

Bước 5.2.4

Cộng $π$ và $0$ .

$x = π$

Bước 5.2.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.2.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.2.6

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π n, π + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ bằng với $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

Bước 6.2.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

Bước 6.2.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ với $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ với $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.2

Khai triển $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3.1.2

Nhân $- \tan (x)$ với $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3.1.3

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3.1.5

Nhân $\tan (x)$ với $\tan (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.3.1.5.1

Di chuyển $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3.1.5.2

Nhân $\tan (x)$ với $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3.2

Cộng $- \tan (x)$ và $\tan (x)$ .

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.3.3

Cộng $1$ và $0$ .

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.6

Nhân $- - \tan^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.1.6.2

Nhân $\tan^{2} (x)$ với $1$ .

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Khai triển $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3.2.1.2

Nhân $- \tan (x)$ với $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3.2.1.3

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

Bước 6.2.2.3.2.1.5

Nhân $\tan (x)$ với $\tan (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1.5.1

Di chuyển $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

Bước 6.2.2.3.2.1.5.2

Nhân $\tan (x)$ với $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 6.2.2.3.2.2

Cộng $- \tan (x)$ và $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

Bước 6.2.2.3.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

Bước 6.2.2.3.3

Nhân $0$ với $1 - \tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

Bước 6.2.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Bước 6.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 6.2.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Bước 6.2.3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\tan (x) = i$

Bước 6.2.3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\tan (x) = - i$

Bước 6.2.3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\tan (x) = i, - i$

Bước 6.2.4

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Bước 6.2.5

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (i)$

Bước 6.2.5.2

Tiếp tuyến ngược của $\arctan (i)$ không xác định được.

Không xác định

Bước 6.2.6

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = - i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- i)$

Bước 6.2.6.2

Tiếp tuyến ngược của $\arctan (- i)$ không xác định được.

Không xác định

Bước 6.2.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

Không có đáp án

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ đúng.

$x = π n, π + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$